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經過數年智性之旅，三位數學家發現物理學有一個重要核心問題不可解，這意味著其他重大問題或許也不可判定。 撰文／丘畢特（Toby S. Cubitt）、培瑞斯－賈西亞（David Perez-Garcia）、沃爾夫（Michael Wolf） 翻譯／翁秉仁我們三人坐在奧地利希費德（Seefeld）的一間咖啡廳裡，這座小鎮位於阿爾卑斯山深處。2012年夏天，那一刻我們被困住了，但不是困在咖啡廳裡──當天陽光明媚，阿爾卑斯山白雪皚皚，周圍的美麗景色強烈誘惑我們走到戶外，放棄困住我們的數學問題。我們正在嘗試連結量子物理與20世紀由哥德爾（Kurt Godel）和涂林（Alan Turing）發現的重要數學成就。至少，這是一個夢想。這個夢想始於2010年一學期的量子資訊研究計畫，地點在靠近瑞典斯德哥爾摩的米塔格－雷夫勒研究所。我們所檢視的問題，前人已探討過其中一些，不過對我們來說是全新方向，所以理應從簡單問題先著手。我們打算證明一個小問題，結果不太有意思，為的只是試探難易。幾個月下來，我們對如何證明有個大致的想法，但是要讓這個證明真的成立，得先把問題表述在人為架構裡，感覺像是配合答案去修改問法，十分令人困擾。2012年，我們在希費德舉行的研討會再次見面，第一場演講後的休息時間，我們重拾這個問題，卻還是提不出任何解套的方法。於是，沃爾夫半開玩笑地說：「我們為什麼不證明大家關注的問題其實不可判定（undecidable）？例如譜隙（spectral gap）。」那段時間，我們對於某些物理問題是否「可判定」很感興趣。前述困住我們的就是探討某個問題的可判定性，只是那個問題不那麼重要，沒幾個人關心，但是沃爾夫提議的「譜隙問題」是物理學的核心議題。當時，我們既不知道譜隙問題是否可判定（雖然依我們直覺是不可判定），對於能否證明譜隙問題可判定或不可判定也毫無概念。不過如果能解決譜隙問題，對物理學將別具意義，更別說在數學上的實質成就。沃爾夫滿懷雄心的建議幾乎被當做玩笑草草帶過，卻帶領我們走入一場大冒險。三年之後，146頁的數學論文完稿，我們證明了譜隙問題不可判定，並發表在《自然》（Nature）。要理解這項證明的意義，必須追溯20世紀初，查考影響近代物理學、數學、電腦科學發展的一些線索。這些內容迥異的概念全都源自德國數學家希爾伯特（David Hilbert），他是公認過去百年最偉大的數學家。（當然，數學界以外的人多半沒聽過他的大名。就算數學界有其獎勵方式，但數學研究這條路並不是搏名氣、當名人的康莊大道。）量子物理的數學希爾伯特對數學的影響無與倫比。他早年發展一門數學分支稱為泛函分析（functional analysis），其中的「譜論」（spectral theory）領域是我們證明譜隙問題的關鍵。希爾伯特對譜論的興趣純粹出自抽象的理由。但事情有時就這麼巧，當時物理學家坐困愁城的問題，希爾伯特的數學理論竟是解方。物質受熱會發光，是因為內部原子放射光。街上的鈉燈發出的橘黃光就是好例子：鈉原子主要發出波長590奈米的光，屬於可見光譜的黃光區段。原子中的電子在不同能階「跳躍」時會吸收或放射光，光的精確頻率由這些能階之間的能隙決定。因此物質受熱的發光頻率，就是原子不同能階的「能隙地圖」。解釋原子如何放射光的機制，正是20世紀前葉物理學家纏鬥的一個難題。這個問題直接促成量子力學的發展，希爾伯特的譜論扮演了主要角色。其中有一處量子能階的能隙特別重要。物質的最低能階稱為「基態」（ground state），是物質不具有熱能時所處的能階。想讓物質處於基態，科學家必須在實驗室中把它冷卻到極低的溫度；想讓物質離開基態，必須把它激發到更高的能階。最簡單的方式是讓物質吸收少許能量，足以到達緊鄰基態的上一個能階──「第一受激態」（first excited state）。基態和第一受激態之間的能隙稱為「譜隙」。有些物質的譜隙很大，但也有物質的能階會一直延伸到基態，根本不存在任何譜隙。物質是「有譜隙」（gapped）還是「無譜隙」（gapless），會大幅影響它在低溫下的狀態，尤其在量子相變（quantum phase transition）中有重要地位。當物質的性質急速發生劇烈變化時就會引發相變。有些相變我們很熟悉，例如水加熱可從固態變成液態。但是當物質處於非常低溫時，還存在十分奇特的量子相變，例如改變物質周遭的磁場或壓力，可能把絕緣體變成超導體，或者把固體變成超流體。但在絕對零度（-273.15℃）時，物質怎麼可能會引發相變？這時根本沒有熱可供給能量！關鍵就在譜隙。當物質是無譜隙，到達受激態所需的能量是零，於是一丁點能量就足以讓物質引發相變。事實上，由於主導極低溫物理的怪誕量子效應，物質可從空無暫時「借」一點能量，引發相變後，再把能量「還」回去。因此，想理解物質的量子相變與量子相（quantum phase），就必須判定物質是有譜隙還是無譜隙。因為譜隙問題對於理解物質的量子相如此重要，因此在理論物理的不同領域皆有相關的難題。凝態物理許多懸而未解的知名問題，追根究柢便是要解決特定物質的譜隙問題。甚至，在粒子物理也出現一個息息相關的問題：有相當強的證據顯示，描述夸克與其交互作用的基本方程式存在「質量間隙」（mass gap）。從瑞士日內瓦附近的大強子對撞機（LHC）這類粒子對撞機所取得的實驗證據，便支持質量間隙；超級電腦大型數值計算的結果也驗證這個想法。但是想從理論上嚴格證明質量間隙的存在極度困難。事實上，「楊－密爾斯質量間隙問題」（Yang-Mills mass gap problem）列名為美國克萊數學研究所的七大百萬獎金問題之一，成功解答的人可獲得獎金100萬美元。在理論物理不同領域相關的難題都是廣義譜隙問題的特例。然而，對於想要解決這些問題的人，我們有個壞消息：我們的證明顯示，廣義譜隙問題遠比大家想像的更刁鑽，原因出在所謂的Entscheidungsproblem。